奈奎斯特定理和香农定理

奈奎斯特定理（Nyquist’s Theorem）和香农定理（Shannon’s Theorem）是信号学中的两个基本定理。

注意本文的一些术语具有多重含义，请依据其定义进行区分。

关于波特和比特率请看 波特率和比特率。

带宽和容量

一个信道有最高频率和最低频率，只有在这两个频率之间的信号才视为有效，这两个频率的差就叫做这个信道的带宽（Bandwidth），单位是 Hz，最高比特率叫做这个信道的容量（Capacity）。

信噪比

信号和噪声的功率比就叫做信噪比（Signal-to-noise），表示为 S/N。由于直接计算得出数有时数值很大，计算不方便，所以经常对它取以 10 为底的对数再乘 10（这样可以避免用乘法），所得的结果也叫做信噪比，这时给它重新定义一下，叫做分贝（dB，deci-Bel），无量纲。不乘 10 叫贝尔，不过基本没人用。（电话发明者贝尔发现人耳对声音强度的感知是成对数的）。

采样

采样（Sampling）是指用每隔一定时间的信号样值序列来代替原来在时间上连续的信号，也就是将模拟信号离散化。

白噪声

白噪声是指在较宽的频率范围内，功率谱密度是常数的噪声，白噪声的功率在频谱上均匀分布。

高斯噪声

高斯噪声是指概率密度函数服从高斯（正态）分布的噪声。

奈奎斯特采样定理

C_max = 2 × B × log ₂ L

这里 C_max 指的是信道的最大容量，B 是信道的带宽，L 是 波特率和比特率 文中每个有效信号负载的信息量。

奈奎斯特定理用于理想信道（如对类似正弦函数的模拟信号进行采样（通过滤波），以采样的电平数量作为每个有效信号负载的信息量），结果是波特。

通过奈奎斯特定理能得到以下结论

• 信道的带宽确定后，该信道的极限波特率就确定了，即对一个模拟信号进行采样，采样的频率应大于2倍信号最高频率，否则会出现错误。换句话说，你至少需要两倍的数字信号量才能采集一个模拟信号量。

奈奎斯特定理给出了波特率的限制，但并没有对信息传输速率给出限制，适用的情况是无噪声信道。

香农定理

1948年，香农在《通信的数学原理》（Mathematical Theory of Communication）一文中，提出了香农定理：

C_max = W log ₂ (1 + (S/N))

香农定理指出，在高斯白噪声（通信系统噪声多为高斯白噪声）信道中，信道容量 C 具有最大值 C_max，单位是每秒比特。

一般来说，增加传输带宽会增大输出的噪声功率，导致信噪比下降。

通过香农定理可得出以下结论：

• 提高信道的信噪比或增加信道的带宽都可以增加信道容量。

• 减小带宽同时提高信噪比，可以维持原来信道容量。

• 传输带宽和信噪比确定，信息传输速率的上限就确定。

参考：https://www.jianshu.com/p/9afa9eb490a2